\documentclass[10pt]{article}
%\usepackage[latin2]{inputenc}

\usepackage{verbatim,amsmath,amssymb,amsthm}


\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}


\newtheorem{thm}{Věta}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\newtheorem{cor}[thm]{Důsledek}
\newtheorem{df}[thm]{Definice}
\newtheorem*{ex*}{Příklady}
\newtheorem*{exp*}{Poznámky a příklady}
\newtheorem*{poz*}{Poznámky}

\newtheorem*{exe*}{Příklad}
\newtheorem*{pr*}{Na procvičení}
%\newtheorem{problem}[Theorem]{Problem}
%\newtheorem{Conjecture}{Conjecture}
\newtheorem{rem}[thm]{Poznámka}

\newcommand{\vf}{\varphi}
\newcommand{\PR}{{P\! R}}
\newcommand{\TP}{{T\! P}}
\newcommand{\UPR}{{\cal U}_{\PR}}
\newcommand{\dist}{{\rm dist}\,}
\newcommand{\rd}{{\mathbb R}^d}
\newcommand{\sph}{{{\mathbb S}^{d-1}}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathcal N}}
\newcommand{\INt}{{\rm int}\,}
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\nor}{{\rm nor}\,}
\newcommand{\supp}{{\rm supp}\,}
\newcommand{\diam}{{\rm diam}\,}
\newcommand{\Nor}{{\rm Nor}\,}
\newcommand{\Tan}{{\rm Tan}\,}
\newcommand{\abs}{{\rm abs}}
\newcommand{\lin}{{\rm lin}\,}
\newcommand{\Ima}{{\rm Im}\,}
\newcommand{\Ker}{{\rm Ker}\,}
\newcommand{\reach}{{\rm reach}\,}
\newcommand{\SOd}{{\rm SO}_d}
\newcommand{\exo}{{\rm exo}}
\newcommand{\cov}{{\rm cov}\,}
\newcommand{\subgr}{{\rm subgr}\,}
\newcommand{\loc}{{\rm loc}\,}
\newcommand{\E}{{\mathbb E}}
\newcommand{\Ha}{{\cal H}}
\newcommand{\bd}{\partial}
\DeclareMathOperator*{\esslim}{ess\,lim}
\newcommand{\spa}{\operatorname{span}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}

\newcommand{\ind}[1]{\mathbf{1}_{#1}}
%\newcommand{\eps}{r}%{\varepsilon}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\sL}{\cal{L}}
\newcommand{\sS}{\cal{S}}
\newcommand{\sM}{\cal{M}}
\newcommand{\usS}{\overline{\cal S}}
\newcommand{\usM}{\overline{\cal M}}
\newcommand{\lsS}{\underline{\cal S}}
\newcommand{\lsM}{\underline{\cal M}}
\newcommand{\ldim}{\underline{\dim}}
\newcommand{\udim}{\overline{\dim}}
\newcommand{\var}{{\rm var}}
\newcommand{\ls}{\underline{s}}
\newcommand{\gC}{\widetilde{C}}
\newcommand{\sumn}{\sum_{n=1}^\infty}

\newcommand{\Cc}{\operatorname{Cc}}
\newcommand{\Cv}{\operatorname{Cv}}


\def\qe{\mathbb Q}
\def\en{\mathbb N}
\def\er{\mathbb R}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\C{\mathbb C}
\def\K{\mathcal K}
\def\H{\mathcal H}
\def\P{\mathcal P}
\def\M{\mathbb M}
\def\F{\mathcal F}
\def\ii{\mathfrak i}
\def\D{\mathfrak D}
\def\R{\mathfrak R}
\def\L{\mathcal L}
\def\M{\mathcal M}


\newcommand{\graph}{\operatorname{graph}}
\newcommand{\card}{\operatorname{card}}
\newcommand{\co}{\operatorname{co}}
\newcommand{\conv}{\operatorname{conv}}
\newcommand{\intr}{\operatorname{Int}}
%\newcommand{\ang}{\operatorname{ang}}
\newcommand{\aff}{\operatorname{Aff}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\tn}{\operatorname{Tan}}
\newcommand{\cl}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\adm}{\operatorname{adm}}
\newcommand{\epi}{\operatorname{epi}}
\newcommand{\hyp}{\operatorname{hyp}}
\newcommand{\arc}{\operatorname{arc}}
\newcommand{\cotan}{\operatorname{cotan}}
\newcommand{\cotanh}{\operatorname{cotanh}}
\newcommand{\arccotan}{\operatorname{arccotan}}
\newcommand{\argtanh}{\operatorname{argtanh}}
\newcommand{\argcotanh}{\operatorname{argcotanh}}
\newcommand{\argsinh}{\operatorname{argsinh}}
\newcommand{\argcosh}{\operatorname{argcosh}}
\newcommand{\ceq}{\stackrel{c}{=}}
\newcommand{\vol}{\operatorname{Vol}}

\newcommand{\intab}{\int_{a}^{b}}

\newcommand{\WDC}{{W\! DC}}
\newcommand{\UWDC}{{\cal U}_{\WDC}}
\newcommand{\UWDCG}{{\cal U}_{\WDC}^{\cal G}}

\newcommand{\llc}{\;\halfsq\;}
\newcommand{\lrc}{\;\ihalfsq\;}

\def\halfsq{\hbox{\kern1pt\vrule height 7pt\vrule width6pt height 0.4pt depth0pt\kern1pt}}
\def\ihalfsq{\hbox{\kern1pt \vrule width6pt height 0.4pt depth0pt
		\vrule height 7pt \kern1pt}}


\newcommand{\cotg}{\operatorname{cotg}}
\newcommand{\tg}{\operatorname{tg}}
\newcommand{\id}{\operatorname{Id}}
\def\dsp{\displaystyle}

\def\Necht{Nechť }
\def\necht{nechť }
\def\Bud{Buď }
\def\bud{buď }

\newcommand\ddfrac[2]{\frac{\displaystyle #1}{\displaystyle #2}}

%\numberwithin{equation}{section} \numberwithin{thm}{section}

\font\Bbb=msbm10 at 12pt
\begin{document}

\section{Variační počet}

Trocha terminologie: jako jsme zobrazení z $\er$, $\C$ a později $\er^d$ (nebo jejich podmnožin) s hodnotami v $\er$ nebo $\C$ nazývali funkce (reálné či komplexní), zobrazení z Banachových prostorů (případně jejich podmnožin) s hodnotami v $\er$ nebo $\C$ nazýváme \textbf{funkcionály}. Později pak budeme zobrazaní mezi Banachovými prostory nazývat operátory.

Pro funkcionály s hodnotami v $\er$ múžeme definovat lokální i globální extrémy (volné, nebo vzhledem k množině) analogicky jako u funkcí.

\subsection{Derivování v Banachových prostorech a jeho aplikace}

\begin{df}
	Nechť $X$ je normovaný lineární prostor, $F:X\supset D_F\to\er$ funkcionál, $a\in D_f$, $h\in X\setminus\{0\}$. Potom definujeme\textbf{ G\^ ateauxovu derivaci} $F$ v bodě $a$ \textbf{ve směru} $h$ jako 
	$$
	D_{h}F(a)=\lim_{t\to 0}\frac{F(a+th)-F(a)}{t},
	$$
	pokud limita napravo existuje vlastní.
	
	Spojitý lineární funkcionál $L:X\to\er$ budeme nazývat \textbf{G\^ ateauxovou derivací} $F$ v bodě $a$ pokud $D_{h}F(a)$ existuje pro všechna $h\in X\setminus\{0\}$ a platí
	$
	L(h)=D_{h}F(a),
	$
	$h\in X\setminus\{0\}$.
	
	Spojitý lineární funkcionál $L:X\to\er$ budeme nazývat \textbf{Fr\'echetovou derivací} $F$ v bodě $a$ pokud
	$$
	\lim_{h\to 0}\frac{F(a+h)-F(a)-L(h)}{|h|}=0.
	$$
	
	G\^ ateauxovy a Fr\'echetovy derivace vyšších řádů definujeme induktivně.
\end{df}

\begin{ex*}
	\begin{enumerate}
		\item Pro funkcionál $\Phi:C([0,1])\to\er$ definovaný jako $\Phi(f)=f(0)$ platí $D_h\Phi(f)=h(0)=\Phi(h)$.
		\item Pro funkcionál $\Phi:C([0,1])\to\er$ definovaný jako $\dsp\Phi(f)=\int_0^1 f$ platí $\dsp D_h\Phi(f)=\int_0^1 h=\Phi(h)$.
		\item Pro funkcionál $\Phi:C([0,1])\to\er$ definovaný jako $\Phi(f)=(f(0))^2$ platí $D_h\Phi(f)=2f(0)h(0)$.
		\item Pro funkcionál $\Phi:C([0,1])\to\er$ definovaný jako $\dsp\Phi(f)=\int_0^1 f^2$ platí $\dsp D_h\Phi(f)=\int_0^1 2fh$.
		\item Obecně, pro funkcionál $\Phi:C([0,1])\to\er$ ve tvaru $\Phi(f)=\int_0^1 G(f)$, kde $G\in C^1([0,1])$ platí
		$$
		D_h\Phi(f)=\int_0^1 G'(f)h,\quad D_{h,h}\Phi(f)=\int_0^1 G''(f)h^2.
		$$
	\end{enumerate}
\end{ex*}

\begin{df}[stacionární bod]
	Nechť $X$ je normovaný lineární prostor, $F:X\supset D_F\to\er$ funkcionál. Bod $a\in D_f$ nazveme \textbf{stacionárním} (nebo kritickým) bodem $F$, pokud $D_h F(a)=0$ pro každé $h\in X\setminus\{0\}$.
\end{df}


\begin{exp*}
\begin{enumerate}
	\item (Eulerova nutná podmínka)
	Nechť $X$ je normovaný lineární prostor, $F:X\supset D_F\to\er$ funkcionál a $F$ má v $a\in D_F$ lokální extrém. Pokud pro $h\in X\setminus \{0\}$ exsituje $D_h F(a)$, potom $D_h F(a)=0$.
	\item (Lagrangeova nutná podmínka pro extrém)
	Nechť $X$ je normovaný lineární prostor, $F:X\supset D_F\to\er$ funkcionál a $F$ má v $a\in D_F$ lokální minimum. Pokud pro $h\in X\setminus \{0\}$ exsituje $D^2_{h,h} F(a)$, potom $D^2_{h,h}F(a)\geq0$.
	\item (Lagrangeova postačující podmínka pro extrém)
	Nechť $X$ je normovaný lineární prostor, $F:X\supset D_F\to\er$ funkcionál a $a\in D_F$ je stacionárním bodem $F$. Pokud existuje $U$ okolí $a$, že pro každé $h\in X\setminus \{0\}$a $x\in U$ existuje $D^2_{h,h} F(x)$ a platí $D^2_{h,h} F(x)\geq 0$, potom má $F$ a bodě $a$ lokální minimum.
\end{enumerate}	
\end{exp*}



\end{document}







 



